Postando aqui parte de um trabalho que fiz na Faculdade.
Arquimedes
Arquimedes
foi um dos mais importantes cientista e matemático de todos os tempos,
se destaca também na área da física e é autor de várias invenções que
facilitavam a vida do povo de sua cidade, além de instrumentos bélicos
idealizado por ele que era usado na proteção de Siracusa em época de
guerra. Seus feitos são tão admiráveis que o credenciam a integrar o
seleto rol dos três maiores matemáticos de todos os tempos, junto a
Isaac Newton (1642-1727) e Carl Friedrich Gauss (1777-1855).
Muito
do que se sabe de Arquimedes se deve ao historiador Plutarco, de
Queronéia (46 d.C. – 120 d.C.). Surpreendem nele sua capacidade,
abrangência dos temas de seu interesse, a originalidade de suas idéias e
a profundidade, a clareza e o rigor de seus raciocínios, seus
pensamentos tiveram uma importância decisiva no surgimento da ciência
moderna, tendo influenciado, entre outros, Galileu Galilei e Isaac
Newton.
Biografia
A maioria dos detalhes da vida de Arquimedes são desconhecidos. Sabe-se que nasceu em Siracusa, na época uma cidade-estado da Magna Grécia cerca de 287 a.C. Seu pai foi um astrônomo chamado Fídias, do qual nada se conhece. Quando jovem, estudou em Alexandria, o centro do saber da época, com Cônon, um dos discípulos de Euclides. Embora na Antiguidade
não houvesse clara distinção entre matemáticos (geômetras), físicos
(cientistas naturais) e filósofos, Arquimedes destacou-se ao longo da
sua vida principalmente como inventor e matemático.
Arquimedes morre aos 75 anos (212 a. C.) após a tomada de Siracusa, durante a Segunda Guerra Púnica. Paradoxalmente, Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal. Lê-se em Plutarco que Arquimedes “era
por vezes levado à força para banhar-se ou passar óleo no corpo. Ele
costumava traçar figuras geométricas nas cinzas do fogo, e diagramas no
óleo de seu corpo, estando em um estado de preocupação total e de
possessão divina, no sentido mais verdadeiro, por seu amor e deleite
pela ciência”. Foi morto por engano por um soldado romano, apesar
dos soldados terem ordens explícitas para defendê-lo, já que os romanos
tinham uma enorme admiração por ele. O fato é narrado de diferentes
maneiras, segundo Plutarco, quando os soldados romanos
invadiram a praia de Siracusa, encontraram um velho senhor - o próprio
Arquimedes - desenhando círculos na areia. Sem imaginar que esse era o
gênio responsável pela criação das poderosas armas sicilianas,
assassinaram-no quando ele se negou a obedecer a suas ordens, porque não
queria ver perturbado o raciocínio que seguia nesse momento. De acordo
com o seu desejo, a sua sepultura foi decorada com o desenho que
representa uma esfera inscrita num cilindro circular reto cuja altura é
igual ao seu diâmetro.
Pensamentos de Arquimedes
A Matemática:
Arquimedes acreditava que nada do que existe é tão grande que não possa
ser medido, fez surgir assim a idéia de infinitamente grande ao querer
contar os grãos de areia da praia de Siracusa. Esta idéia surge também
numa de suas obras, o Arenário, onde se propõe
avaliar o número de grãos de areia (daí o nome da obra) que seria
preciso para encher uma esfera grande como o universo. Para resolver
este problema ele usou como base os conhecimentos astronômicos de Aristarco de Samos (primeiro grande astrônomo da escola de Alexandria, é com 17 séculos de avanço, o percussor de Copérnico).
Nesse sistema, a Terra roda em torno de si mesma descrevendo uma órbita
circular à volta do Sol. Arquimedes idealizou um novo sistema de
numeração que permite escrever ou enumerar números tão grandes quanto
quiser. Esse sistema consistia em escrever os números em óctuplos ou
potência de 8 na base 10, que constituem uma das leis de operação com
logaritmos.
Em
geometria, o sábio teve o mérito de conceber métodos para calcular as
áreas de figuras sólidas delimitadas por superfícies curvas. Ele tinha,
portanto, um sistema de cálculo integral dois mil anos antes de Newton e Leibniz. Mas, Arquimedes não antecipa apenas o cálculo integral. Ele pode ser também considerado como percussor do cálculo diferencial. Na verdade, uma das suas mais conhecidas e importantes descobertas matemáticas é a construção da famosa Espiral de Arquimedes.
Sem
ter, obviamente, qualquer conhecimento da expressão da função que
descreve essa curva, Arquimedes conseguiu resolver o problema do traçado
da tangente num ponto dessa espiral.
Descobriu
ainda um método para calcular o prodigioso número que estabelece a
ligação entre a circunferência e seu diâmetro, hoje, conhecido como pigrego (π), fixando o seu valor entre (em
decimais 3,1418...em média). Um fato admirável, num dos grandes
momentos da História da Matemática. Apenas a guisa de ilustração, o
símbolo π não foi usado na antiguidade grega no sentido atual. A
introdução do símbolo só aconteceu em 1706, por William Jones, e
popularizado por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. A letra π é a
inicial da palavra grega περιφερεια que significa circunferência
(perímetro).
No seu tratado sobre a Esfera e o Cilindro, Arquimedes demonstrou que a área da Esfera é igual a 4 vezes a área de seu Circulo máximo. Conhecida a área da Esfera, ele provou
que o volume da qualquer esfera é igual a 4 vezes o volume do cone que
tem como altura o raio da mesma e como base seu circulo máximo.
Ainda nesse tratado, Arquimedes fez uma elegante síntese de seus estudos
sobre aqueles sólidos. Inscrevendo uma esfera eu um cilindro equilátero
ele mostrou que a área total e o volume do cilindro são,
respectivamente, 3/2 da área e do volume da esfera, formulando o
seguinte teorema: “O Cilindro é uma vez e meia a Esfera, em área e volume”.Arquimedes
considerava essa sua mais bela descoberta, tanto que pediu que, quando
morresse, fossem gravados sobre seu túmulo um Cilindro e uma Esfera nela
inscrita, acompanhada da relação que os une.(figura 1)
Neste
ponto, é interessante relatar um episódio ímpar dentro da História da
Matemática. Na segunda metade do século XIX, um dinamarquês de vasta
cultura, chamado Johan Ludvig Heiberg, decidiu publicar estudos
profundos e abrangentes sobre a matemática grega, em especial as obras
de Euclides e Arquimedes. Vários anos de sua vida foram gastos em
pacientes pesquisas em bibliotecas espalhadas pela Europa e pelo Oriente
Próximo. Certo dia, em 1906, pesquisando na biblioteca de um monastério
em Istambul (a antiga Constantinopla), ele deparou-se com um pergaminho
sobre o qual havia sido escrito um texto cristão. Ele percebeu,
entretanto, que um texto anterior havia sido apagado para que o mais
novo fosse escrito.Tentando descobrir o conteúdo do que fora apagado,
Heiberg maravilhou-se ao ver que se tratava de uma obra perdida de
Arquimedes, hoje conhecida como O Método,
ali copiada por um monge no século X. A obra começa com uma carta de
Arquimedes a seu amigo Eratóstenes, da Universidade de Alexandria, e
explica o método que utilizava para descobrir certos teoremas, como o do
volume da Esfera. Para surpresa geral, sua
abordagem a certas questões geométrica utilizava o conceito físico (da
Estática) de equilíbrio de pesos suspensos sobre barras para descobrir
resultados que, depois, demonstrava com rigor matemático por dupla
redução ao absurdo.
Em uma de suas obras, intitulada O Problema dos Bois,
Arquimedes descreve um problema relacionado com o número de cabeças de
gado do Deus Sol grego Hélio. Em termos simplificados o problema é
dividido duas partes. A primeira é basicamente a seguinte:
“O
Deus Sol Hélio tinha bois e vacas a pastar. O gado estava dividido em
quatro partes: a primeira era Branca, a segunda Preta, a terceira era
Malhada e a quarta Castanha e cada parte tinha bois e vacas. Entre os
bois, o número de bois brancos era um meio mais um terço dos bois pretos
mais o de castanhos; o número de bois pretos era um quarto mais um
quinto dos bois malhados mais o de castanhos; o número de bois malhados
era um sexto mais um sétimo do de bois brancos mais o de castanhos.
Entre as vacas, o número de vacas Brancas era um terço mais um quarto do
total de animais pretos; o número de vacas Pretas era um quarto mais um
quinto do total de animais malhados; o número de vacas Malhadas era um
quinto mais um sexto do total de animais castanhos; o número de vacas
Castanhas era um sexto mais um sétimo do total de animais brancos.
Quantos animais existiam ao todo de cada tipo?”
Mas Arquimedes refere ainda como continuação do problema, que:
“Quando
os bois brancos se juntam aos pretos, podem formar um quadrado com
tantos animais de comprimento como de largura. E quando os bois malhados
se juntam aos castanhos, podem formar um triângulo, em que a primeira
fila tem um animal, a segunda tem dois animais, e assim sucessivamente,
cada fila com um animal a mais que a anterior.”
A dificuldade é tal que a primeira solução (ainda que incompleta) só surgiu em 1880, pela mãos de Amthor,
que conseguiu mostrar que o número total de animais da solução tem 206
545 dígitos e conseguiu calcular alguns desses dígitos. Apenas com o
advento dos computadores foi possível a Williams, German e Zarnke, em
1965, encontrar uma solução. O menor número de animais no gado de Hélio
foi publicado por Harry Nelson em 1981, usando um supercomputador. Mas
uma solução geral para o problema foi encontrada em 2001 usando meios de
cálculo mais modestos do que um supercomputador.
A Física:
Arquimedes foi o primeiro homem da História a aplicar eficazmente a
Matemática à Física, nos campos da Estática, da Mecânica, da
Hidrostática e, muito provavelmente da Óptica, razão pela qual ele é
considerado o Pai da Fisica-Matemática.
Um dos princípios fundamentais da Hidrostática, também conhecido como o Principio de Arquimedes, é assim enunciado: “Todo corpo mergulhado em um fluido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do fluido deslocado”. Uma estória bastante conhecida a respeito desse principio é contada da seguinte maneira:
“Quando
Hieron reinava em Siracusa, propôs oferecer, em um certo templo, uma
coroa de ouro aos deuses imortais.Combinou a confecção da obra com um
artesão mediante uma boa soma de dinheiro e a entrega da quantidade de
ouro em peso. O artesão entregou a coroa na data combinada com o Rei,
que a achou executada com perfeição, parecendo que contivesse todo o
ouro que lhe havia sido entregue. Sabendo, porém, que o artesão retirara
parte do ouro, substituindo-o por um peso equivalente em prata, o rei,
indignado diante desse engodo e não tendo em mãos os meios pata provar
ao artesão sua fraude, encarregou a Arquimedes que se ocupasse da
questão e que com sua inteligência encontrasse esses meios.Um dia em que
Arquimedes, preocupado com esse assunto, entrou por acaso em uma casa
de banhos, percebeu que a medida que entrava na banheira,a água
transbordava da mesma. Esta observação lhe fez descobrir a razão que
procurava e, sem mais esperar, pela alegria que este fato lhe produzia,
saiu do banho ainda nu e correndo para casa, gritava: Heureka! Heureka!,
isto é, “encontrei! encontrei!”.
O autor mais antigo conhecido a descrever essa história foi Marcus Vitruvius Pollio, um arquiteto romano do século I a.C., em sua obra De Architetura. Vitruvius não viveu na época de Arquimedes e sim dois séculos depois, portanto
as suas palavras não constituem relato de primeira mão, e não se sabe
em que tipo de fonte ele se baseou. O método atribuído por ele a
Arquimedes não seria, no entanto, adequado, por causa dos erros
introduzidos pela tensão superficial do líquido.
Muitos autores antigos perceberam as dificuldades de se utilizar tal método. Um deles foi Galileu Galilei, que comentou sobre isso em um pequeno trabalho chamado La bilancetta
("A balancinha"). Galileu suspeitava que Arquimedes teria utilizado
outro método, empregando pesagens (balança hidrostática) e não medidas
de líquido derramado. Em 1891, o francês Marcellin Berthelot
encontrou um texto do início da era cristã que confirmava a conjectura
de Galileu, pois atribuía a Arquimedes esse segundo método. Os
argumentos e documentos estudados por Berthelot reforçam a idéia de que
Arquimedes teria utilizado um método de pesagens no ar e na água e não o
método de derramamento de água descrito por Vitruvius.
O primeiro tratado de Estática da História da Humanidade foi escrito por Arquimedes. Nele se encontram os princípios fundamentais relativos ao Centro de Gravidade e à Alavanca. O geômetra Papus, de Alexandria, conta em uma de suas obras que nosso gênio gostava de afirmar: “Dêem-me um ponto de apoio e moverei o mundo”.
No século XVIII, Adam Ferguson, filósofo escocês da escola do senso
comum, tendo como base a afirmação de Arquimedes, calculou o tempo que
um homem levaria para produzir o deslocamento de uma polegada no planeta
Terra com o auxílio de uma alavanca. O resultado foi de 44 963 540 000 000 anos.
Arquimedes se destacou também como inventor, é ele o autor da Polia Composta,
por meio da qual uma força menor pode ser multiplicada (ás custas da
redução da velocidade de deslocamento) de modo a superar outra maior ele
inventou, também um Parafuso Helicoidal (Parafuso de Arquimedes)
que, girando dentro de um tubo cuja extremidade inferior seja mantida
submersa, serve para transportar água a níveis mais altos, para
irrigação e outros fins. Foi grande, também, a quantidade de artefatos militares que
ele concebeu e produziu para defesa de sua cidade. Na segunda Guerra
Púnica, contra o poderoso exército e marinha romanos, comandados pelo
Cônsul Marco Cláudio Marcelo, Arquimedes teria criado aparatos, como: Catapultas de grande alcance para lançar blocos de pedra sobre as galeras inimigas (durante quase três anos, as máquinas de guerra de sua invenção que lançavam dardos e pedras de até 150 quilogramas teriam sido as principais responsáveis pelas derrotas impostas pelos gregos ao exército de Marcelo, general romano que sitiava Siracusa).Um enorme jogo de espelhos côncavos:
formados pelos escudos de bronze dos soldados gregos, após polimento,
que direcionavam a luz do Sol para um mesmo ponto de um navio por vez, afim de incendiá-lo.
Não há comprovações históricas de que esse fato realmente ocorreu.
Tentativas de repetir este feito foram feitas mas produziram resultados
inconclusivos. No programa "Caçadores de Mitos", estudantes do Massachusetts Institute of Technology conseguiram um princípio de incêndio em uma embarcação desde que ela ficasse estacionada por dez minutos no mesmo local. Gigantescos guindastes que elevavam a proa dos navios romanos, afundando-os pela popa.
Plutarco
conta que se instalou tamanho temor e angústia entre as tropas romanas,
que qualquer corda ou pau sobre as muralhas de Siracusa era considerado
uma artimanha diabólica de Arquimedes.Vamos dar a palavra a Plutarco:
"Os
Romanos subiam de assalto por dois caminhos; a consternação e o
silêncio reinavam em Siracusa, pelo receio que estavam de nada poderem
opor a uma tão terrível força e a tão grandes esforços. Mas, assim que
Arquimedes começou a manobrar as suas máquinas, elas lançaram contra a
infantaria toda a espécie de flechas e de pedras de um peso enorme, que
voaram com tanto ruído, força e rapidez, que nada podendo deter o choque
derrubavam e esmagavam quantos encontravam, e lançavam uma desordem
incrível nas fileiras. E, para o lado do mar, viam-se nas muralhas
grandes máquinas que avançavam e abatiam de repente sobre as galeras,
enormes barrotes, de onde pendiam antenas armadas de ganchos que as
engatam e, elevando-as em seguida com a força do contra-peso, as
largavam de repente e as afundavam; ou depois de as terem levantado pela
proa com mãos de ferro, as mergulhavam no mar, ou as traziam para terra
com cordames e croques, e, depois de as ter feito piruetar por muito
tempo, despedaçavam-nas contra as cristas dos rochedos que se erguiam
abaixo das muralhas, esmagando assim os que estavam por baixo." (cit. in
Serres (1989):133).
Arquimedes
toda a vida se colocou perante problemas novos e nunca deixou de criar
métodos para resolver. Citando Pierre Rousseau (1945:53): “Concordemos
que se, como dizia Weierstrass, um matemático, para ser completo, deve
ser um pouco poeta, Arquimedes, o Homero da Geometria, foi um dos mais
acabados que jamais existiram.”
Nunca
em toda a História, um matemático esteve tantos séculos á frente de seu
tempo e é pouco provável que isso venha a se repetir, mesmo no mais
longínquo futuro. Enfim, são tantos os feitos, que Leibniz se faz
apropriado: “Quem entende Arquimedes e Apolônio, admirará menos as realizações dos homens mais célebres de épocas posteriores.”
OBRAS
Eis uma breve nota a respeito de cada uma das Obras de Arquimedes:
1. Da esfera e do cilindro (Livros I e II).
- É um dos mais belos escritos de Arquimedes. Entre os seus resultados,
conte-se o cálculo da área lateral do cone e do cilindro.
2. Dos conóides e dos esferóides.
- É a respeito dos sólidos que hoje designamos por elipsóide de
revolução, parabolóide de revolução e hiperbolóide de revolução.
3. Das espirais.
- É um estudo monográfico de uma curva plana, hoje chamada espiral de
Arquimedes, que se obtém por uma simples combinação de movimentos de
rotação e translação. Entre os resultados, encontra-se um processo para
retificar a circunferência.
4. Da medida do círculo.
- Contém apenas 3 proposições e é um dos trabalhos que melhor revela a
mente matemática de Arquimedes. Com uma ostentação técnica combinam-se
admiravelmente a matemática exacta e a aproximada, a aritmética e a
geometria, para impulsionar e encaminhar em nova direcção o clássico
problema da quadratura do círculo.
5. Quadratura da Parábola.
- Este escrito oferece o primeiro exemplo de quadratura, isto é, de
determinação de um polígono equivalente, de uma figura plana mistilínea:
o segmento da parábola.
6. O Arenário.
- Arquimedes realiza um estudo, no qual intercala um sistema de
numeração próprio, que lhe permite calcular e, sobretudo exprimir
quantidades enormes, e uma série de considerações astronómicas de grande
importância histórica, pois nelas se alude ao sistema heliocêntrico da
antiguidade, devido a Aristarco de Samos.
7. Do equilíbrio dos planos.
- É o primeiro tratado científico de estática. A alavanca, os centros
de gravidade de alguns polígonos, entre outros resultados.
8. Dos corpos flutuantes. (Livro I e II). - Esta obra contém as bases científicas da hidrostática.
9. Do método relativo aos teoremas mecânicos. - Arquimedes aproxima-se extraordinariamente dos nossos conceitos actuais de cálculo integral.
10. O Stomachion. - É um jogo geométrico, espécie de puzzle, formado por uma série de peças poligonais que completam um rectângulo.
11. O problema dos bois.
- É um problema de teoria dos números, que envolve oito incógnitas
inteiras relacionadas por sete equações lineares e sujeitas ainda a duas
condições adicionais a saber
que a soma de certo par de incógnitas um quadrado perfeito e que a soma
de outro par determinado de incógnitas é um número triangular. Sem as
condições adicionais, os menores valores das incógnitas são números da
ordem de milhões; com essas condições, uma das incógnitas deve ser um
número com mais que 206 500 dígitos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Garbi,
Gilberto G. A Rainha das Ciências – Um passeio histórico pelo
maravilhoso mundo da matemática. Editora Livraria da Fisica.
